Question

已知在正整数数列{a_n}中，其前n项的和为S_n且满足S_n=

1

8

（a_n+2）²．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=

1

anan+1

，求数列{b_n}的前n项的和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）令n=1，易求a₁=2，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

1

8

(an+2)2-

1

8

(an-1+2)2=

1

8

(an+an-1+4)(an-an-1)，化简可得a_n-a_n-1=4，从而判断{a_n}是等差数列，由等差数列的通项公式可求a_n；
（Ⅱ）先求出b_n=

1

8

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），利用裂相消法可求得T_n．

解答： 解：（Ⅰ）当n=1时，S1=a1=

1

8

(a1+2)2，解得a₁=2；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

1

8

(an+2)2-

1

8

(an-1+2)2=

1

8

(an+an-1+4)(an-an-1)，
∴

a

2 n

-

a

2 n-1

-4(an+an-1)=0，即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-4）=0，
又数列{a_n}的各项均为正整数，∴a_n＞0，∴a_n-a_n-1=4，
故数列{a_n}是首项为2，公差为4的等差数列．
∴a_n=2+4（n-1）=4n-2．
（Ⅱ）bn=

1

anan+1

=

1

(4n-2)(4n+2)

=

1

4(2n-1)(2n+1)

=

1

8

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
故T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

8

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

8

(1-

1

2n+1

)=

n

4(2n+1)

．

点评：该题考查由递推式求数列通项、等差数列的通项公式、数列求和，考查学生的推理论证能力，裂项相消法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．