Question

某厂拟在2014年通过广告促销活动推销产品．经调查测算，产品的年销售量（假定年产量=年销售量）x万件与年广告费用t（t≥0）万元满足关系式：x=3-

k

t+1

（k为常数）．若不做广告，则产品的年销售量恰好为1万件．已知2014年生产该产品时，该厂需要先固定投入8万元，并且预计生产每1万件该产品时，需再投入4万元，每件产品的销售价格定为每件产品所需的年平均成本的1.5倍（每件产品的成本包括固定投入和生产再投入两部分，不包括广告促销费用）．
（Ⅰ）将2014年该厂的年销售利润y（万元）表示为年广告促销费用t（万元）的函数；
（Ⅱ）2014年广告促销费用投入多少万元时，该厂将获利最大？

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用,函数模型的选择与应用

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）由题目中不做广告，则产品的年销售量恰好为1万件，可得当t=0时，x=1，可得k的值，即得x关于t的解析式；又每件产品的销售价格为1.5倍的成本，可得利润y与促销费用之间的关系式；
（Ⅱ）利用基本不等式求最大值即可．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得当t=0时，x=1即，1=3-k，
∴k=2…（2分）
∴x=3-

2

t+1

∴y=x•

3

2

•

8+4x

x

-8-4x-t=2x-t+4=2(3-

2

t+1

)-t+4=10-(t+

4

t+1

)…（6分）
∴所求的函数解析式为y=10-(t+

4

t+1

)(t≥0)…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得y=11-[(t+1)+

4

t+1

]…（8分）
∵t≥0，
∴t+1＞0，
∴y≤11-2

4

=7，当且仅当t+1=

4

t+1

，即t=1时取等号．…（12分）
∴当2014年广告促销费用投入1万元时，该将获利最大．…（13分）

点评：本题考查了函数模型的选择及应用，考查了简单的数学建模思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．