Question

已知椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），左、右焦点分别为F₁、F₂，焦距为4，点M是椭圆C上一点，满足∠F₁MF₂=60°，且S△F1MF2=

4 3

3

（1）求椭圆C的方程；
（2）过点P（0，2）分别作直线PA、PB交椭圆C于A、B两点，设PA、PB的斜率分别是k₁，k₂，且k₁+k₂=4，求证：直线AB过定点，并求出直线AB的斜率k的取值范围．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设|MF₁|=m，|MF₂|=n，利用余弦定理，结合三角形的面积公式，可求a，结合c，可求b，即可求椭圆C的方程；
（2）设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合k₁+k₂=4，可得m=k-2，即可证明直线AB过定点，利用△≥0，求出直线AB的斜率k的取值范围．

解答： （1）解：设|MF₁|=m，|MF₂|=n，则
∵∠F₁MF₂=60°，且S△F1MF2=

4 3

3

，
∴16=m²+n²-mn，

1

2

mn•

3

2

=

4 3

3

，
∴m+n=4

2

，
∴2a=4

2

，
∴a=2

2

，
∵c=2，
∴b=

a2-c2

=4，
∴椭圆C的方程为

x2

8

+

y2

4

=1；
（2）证明：设直线AB的方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
y=kx+m代入椭圆方程，可得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-8=0，
∴x₁+x₂=-

4km

2k2+1

，x₁x₂=

2m2-8

2k2+1

，
∵k₁+k₂=4，
∴

kx1+m-2

x1

+

kx2+m-2

x2

=4，
∴m=k-2，
∴直线AB的方程为y=kx+k-2，即y=k（x+1）-2，
∴直线AB过定点（-1，-2）．
∵△=（4km）²-4（2k²+1）（2m²-8）≥0，m=k-2，
∴k（7k+4）≥0，
∴k≥0或k≤-

4

7

．

点评：本题考查椭圆的方程，考查余弦定理，考查三角形面积的计算，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于难题．