Question

若过点A（0，1）和B（4，m），并且与x轴相切的圆只有一个，求实数m的值和这圆的方程．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：设出圆心的坐标，由圆心到A、B及x轴的距离相等列两式a²+（b-1）²=b²，（4-a）²+（m-b）²=b²，消去b后得关于a的方程，然后分二次项系数等于0和二次项系数不等于0时判别式等于0求解m的值，进一步求出a，b的值，则圆的方程可求．

解答： 解：∵圆过点A（0，1）和B（4，m），并且与x轴相切，
∴圆心必在AB的垂直平分线上，且圆心到A，B及x轴的距离相等，
设圆心为（a，b），则有：
a²+（b-1）²=b²  ①
（4-a）²+（m-b）²=b²  ②
联立①②消去b得：（1-m）a²-8a+m²-m+16=0  ③
∵过点A（0，1）和B（4，m），并且与x轴相切的圆只有一个，
∴方程③有唯一解，
当1-m=0，即m=1时方程有唯一解，把m=1代入③，得a=2，
把a=2代入①，得b=

5

2

．
∴圆的方程为：（x-2）²+(y-

5

2

)2=(

5

2

)2；
当1-m≠0时，需△=（-8）²-4（1-m）（m²-m+16）=4m³-8m²+68m=0，
解得：m=0．
把m=0代入③，得a=4，
把a=4代入①，得b=

17

2

．
∴圆的方程为：（x-4）²+(y-

17

2

)2=(

17

2

)2．
综上：当m=0时，相对应的圆的方程为：（x-4）²+(y-

17

2

)2=(

17

2

)2；
当m=1时，相对应的圆的方程为：（x-2）²+(y-

5

2

)2=(

5

2

)2．

点评：本题考查了直线与圆的位置关系，考查了分类讨论的数学思想方法，明确方程（1-m）a²-8a+m²-m+16=0仅有一个实根的条件是解答此题的关键，是中档题．