题目内容
已知函数f（x）=2sin2xcos2
+cos2xsinφ-sin2x（0＜φ＜π）图象的一条对称轴为x=
．
（Ⅰ）求的φ值；
（Ⅱ）设函数F（x）=2f（x）+f′（x）（其中f′（x）为f（x）的导函数），若函数F（ωπx）的图象中至少有一个最高点和一个最低点都落在椭圆x2+
=1的内部，求正数ω的取值范围．
| φ |
| 2 |
| π |
| 2 |
（Ⅰ）求的φ值；
（Ⅱ）设函数F（x）=2f（x）+f′（x）（其中f′（x）为f（x）的导函数），若函数F（ωπx）的图象中至少有一个最高点和一个最低点都落在椭圆x2+
| y2 |
| 9 |
考点：二倍角的余弦,导数的运算,同角三角函数间的基本关系,正弦函数的定义域和值域
专题：三角函数的图像与性质,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（Ⅰ）化简函数，利用0＜φ＜π，图象的一条对称轴为x=
，即可求的φ值；
（Ⅱ）求出函数f（ωπx）的解析式，由三角函数的图象平移可知要满足函数f（ωπx）的图象中至少有一个最高点和一个最低点同时在椭圆x2+
=1的内部，则需至少一个最低点在椭圆x2+
=1的内部，由此列不等式求解正数a的取值范围．
| π |
| 2 |
（Ⅱ）求出函数f（ωπx）的解析式，由三角函数的图象平移可知要满足函数f（ωπx）的图象中至少有一个最高点和一个最低点同时在椭圆x2+
| y2 |
| 9 |
| y2 |
| 9 |
解答：
解：（Ⅰ）f（x）=2sin2xcos2
+cos2xsinφ-sin2x=sin（2x+φ），
∵0＜φ＜π，图象的一条对称轴为x=
，
∴φ=
；
（Ⅱ）F（x）=2f（x）+f′（x）=2cos2x-2sin2x=2
cos（2x+
），
∴F（ωπx）=2
cos（2ωπx+
），
该函数图象是把y=cosx的图象向左平移个
单位，然后把图象上点的横坐标变为原来的
，
再把图象上点的纵坐标扩大到原来的2
倍得到的，
∴要使函数f（ωπx）的图象中至少有一个最高点和一个最低点同时在x2+
=1的内部，
则需至少一个最低点（
，-2
）在x2+
=1的内部，
即（
）2+
≤1，
∵ω＞0，
∴ω≥
，
∴正数a的取值范围是[
，+∞）．
| φ |
| 2 |
∵0＜φ＜π，图象的一条对称轴为x=
| π |
| 2 |
∴φ=
| π |
| 2 |
（Ⅱ）F（x）=2f（x）+f′（x）=2cos2x-2sin2x=2
| 2 |
| π |
| 4 |
∴F（ωπx）=2
| 2 |
| π |
| 4 |
该函数图象是把y=cosx的图象向左平移个
| π |
| 4 |
| 1 |
| 2ωπ |
再把图象上点的纵坐标扩大到原来的2
| 2 |
∴要使函数f（ωπx）的图象中至少有一个最高点和一个最低点同时在x2+
| y2 |
| 9 |
则需至少一个最低点（
| 3 |
| 8ω |
| 2 |
| y2 |
| 9 |
即（
| 3 |
| 8ω |
| 8 |
| 9 |
∵ω＞0，
∴ω≥
| 9 |
| 8 |
∴正数a的取值范围是[
| 9 |
| 8 |
点评：本题主要考查本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的对称性，属于中档题．
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相关题目
下列不等式成立的是（ ）
| A、ex＜x+1 | ||||
| B、lnx＞x-1 | ||||
C、sinx＜
| ||||
D、sinx＞
|
如图，设椭圆