Question

已知函数f（x）满足：①对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；②当x∈（1，2]时，f（x）=2-x．若f（a）=f（2012），则满足条件的最小的正实数a是

 

．

Answer 1

考点：函数的周期性

专题：

分析：取x∈（2^m，2^m+1），得到

x

2m

∈（1，2]，f（

x

2m

）=2-

x

2m

，从而f（x）=2^m+1-x，根据f（2012）=f（a）进行化简，能求出满足条件的最小的正实数a的值．

解答： 解：取x∈（2^m，2^m+1），则

x

2m

∈（1，2]；f（

x

2m

）=2-

x

2m

，
从而f（x）=2f（

x

2

）=…=2^mf（

x

2m

）=2^m+1-x，其中，m=0，1，2，…
f（2012）=2¹⁰f（

2012

1024

）=2¹¹-2012=2048-2012=36=f（a）
设a∈（2^m，2^m+1），则f（a）=2^m+1-a=36
∴a=2^m+1-36∈（2^m，2^m+1）
即m≥6，即a≥92，
∴满足条件的最小的正实数a是92．
故答案为：92．

点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，同时考查了计算能力，分析问题解决问题的能力，转化与划归的思想，属于中档题．