Question

已知函数f（x）=[x[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如：[-2.1]=-3，[-3]=-3，[2.2]=2．若x∈[0，n]（n∈N^*），则f（x）的值域中元素个数为

 

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：压轴题,新定义

分析：先由题意先求[x]，再求x[x]，然后再求[x[x]]，得到[x[x]]在各区间中的元素个数，进而得到结论．

解答： 解：根据题意：
[x]=

0，x∈[0，1) 1，x∈[1，2) … n-1，x∈[n-1，n)

∴x[x]=

0，x∈[0，1) x，x∈[1，2) … (n-1)x，x∈[，n-1，n)

∴[x[x]]在各区间中的元素个数是：1，1，2，…，n-1
∵函数f（x）的值域为A，
∴集合A中的元素个数为1+1+2+…+n-1=

n2-n+2

2

故答案为：

n2-n+2

2

点评：本题主要通过取整函数来建立新函数，进而研究其定义域和值域，属于中档题．