Question

2．已知函数f（x）的定义域为R，当x＞0时，f（x）＜2，对任意的x，y∈R，f（x）+f（y）=f（x+y）+2成立，若数列{a_n}满足a₁=f（0），且f（a_n+1）=f（$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$），n∈N^*，则a₂₀₁₇的值为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{6}{2×{3}^{2016}-1}$
• C． $\frac{2}{2×{3}^{2016}-1}$
• D． $\frac{2}{2×{3}^{2015}-1}$

Answer 1

分析 计算a₁，判断f（x）的单调性得出递推公式a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$，两边取倒数化简得出∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$}是等比数列，从而得出{a_n}的通项公式．

解答 解：令x=y=0得f（0）=2，∴a₁=2．
设x₁，x₂是R上的任意两个数，且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
∵x＞0，f（x）＜2；
∴f（x₂-x₁）＜2；
即f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）-2＜2+f（x₁）-2=f（x₁），
∴f（x）在R上是减函数，
∵f（a_n+1）=f（$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$），
∴a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{{a}_{n}}$+1，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{2}$=3（$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$），
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$}是以1为首项，以3为公比的等比数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$=3^n-1，
∴a_n=$\frac{2}{2•{3}^{n-1}-1}$，∴a₂₀₁₇=$\frac{2}{2•{3}^{2016}-1}$．
故选C．

点评 本题主要考查函数与数列的转化，利用抽象函数的关系结合函数的单调性的定义判断函数单调性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．