Question

13．如图，在四棱锥P-ABCD中，CD∥AB，AD=DC=$\frac{1}{2}$AB．
（1）若M是PB的中点，求证：CM∥平面PAD；
（2）若AD⊥AB，BC⊥PC，求证：平面PAC⊥平面PBC．

Answer 1

分析 （1）取AP的中点N，连接MN和DN，利用中位线定理得出四边形MNDC时平行四边形，故而CM∥DN，从而CM∥平面PAD；
（2）利用勾股定理的逆定理证明AC⊥BC，结合BC⊥PC得出BC⊥平面PAC，于是平面PAC⊥平面PBC．

解答 证明：（1）取AP的中点N，连接MN和DN，
∵M是PB的中点，N是PA的中点，
∴$MN∥AB，MN=\frac{1}{2}AB$，
又$CD∥AB，CD=\frac{1}{2}AB$，
∴MN=CD，MN∥CD，
∴四边形MNDC是平行四边形，
∴CM∥DN．
又CM?平面PAD，DN?平面PAD，
∴CM∥平面PAD．
（2）设AD=CD=1，则AB=2，
∴AC=$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{2}$，
∴AC²+BC²=AB²，∴BC⊥AC，
又BC⊥PC，AC?平面ACP，PC?面ACP，AC∩PC=C，
∴BC⊥面ACP，又BC?面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC．

点评 本题考查了线面平行的判定，面面垂直的判定，属于中档题．