Question

14．已知正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，以点C为圆心，CE长为半径作圆，点P是该圆上的任一点，则$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{DE}$的取值范围是（　　）

• A． $[0，2+\sqrt{6}]$
• B． $[2-\sqrt{6}，2+\sqrt{6}]$
• C． $[0，2+\sqrt{5}]$
• D． $[2-\sqrt{5}，2+\sqrt{5}]$

Answer 1

分析 由题意，建立平面直角坐标系，设出各点坐标，利用数量积的坐标运算，得到P的关系式，结合点在圆上得到所求范围．

解答 解：由题意，建立平面直角坐标系，如图则A（0，0），C（2，2），D（0，2），E（2，1），P（x，y），则（x-2）²+（y-2）²=1，
$\overrightarrow{AP}$=（x，y），$\overrightarrow{DE}$=（2，-1），
所以$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{DE}$=2x-y=z，则y=2x-z，当此直线与圆相切时使得在y轴的截距取得最值，所以$\frac{|2-z|}{\sqrt{5}}=1$，解得z=2$±\sqrt{5}$，
所以$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{DE}$的取值范围是[2-$\sqrt{5}$，2+$\sqrt{5}$]；
故选D．

点评 本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．