Question

已知函数f（x）=

1

2

x²-

1

3

ex³+e^x（x-1）（其中e为自然对数的底数），记f（x）的导函数为f′（x）．
（1）求函数y=f（x）的单调区间；
（2）求证：当x＞0时，不等式f′（x）≥1+lnx恒成立．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数判断函数的单调性，求出单调区间；
（2）当x＞0时，令h（x）=1+lnx+ex²-x-e^xx，求出导数h′（x），当x=1时，h′（x）=0，由（1）得，e^x-ex≥0，讨论当x＞1时，当0＜x＜1时，导数的符号，从而得到h（x）的最大值，即可得证．

解答： （1）解：）∵f（x）=

1

2

x²-

1

3

ex³+e^x（x-1），
∴f′（x）=-ex²+x+e^x（x-1）+e^x=x（e^x+1-ex），
令y=e^x+1-ex，则y′=ex-e，y′＞0，得x＞1，y′＜0，得x＜1，则x=1取极小，也是最小，
则y≥1．即e^x+1-ex＞0恒成立，
则g′（x）＞0得x＞0；g′（x）＜0得x＜0．
故g（x）的增区间为（0，+∞），减区间为（-∞，0）．
（2）证明：当x＞0时，1+lnx-f′（x）=1+lnx+ex²-x-e^xx，
令h（x）=1+lnx+ex²-x-e^xx，
h′（x）=

1

x

+2ex-1-e^xx-e^x，
当x=1时，h′（x）=0，由（1）得，e^x-ex≥0，
当x＞1时，h′（x）＜0，当0＜x＜1时，h′（x）＞0，
故x=1为极大值，也为最大值，且为h（1）=0．
故当x＞0时，h（x）≤h（1），即有h（x）≤0，
故当x＞0时，1+lnx-f′（x）≤0，即f′（x）≥1+lnx．

点评：本题考查导数的应用：求单调区间、求极值，求最值，考查构造函数证明不等式恒成立问题，转化为求函数的最值问题，应用导数求解，本题属于中档题．