题目内容

在如图所示的几何体中，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=3，BC=BE=7，△DCE是边长为6的正三角形．
（1）求证：平面DEC⊥平面BDE；
（2）求二面角C-BE-D的余弦值．
考点：平面与平面垂直的判定,二面角的平面角及求法
专题：
分析：（1）根据勾股定理证明BD⊥CD，BD⊥DE，可得BD⊥平面DEC，利用平面与平面垂直的判定定理，即可证明平面DEC⊥平面BDE；
（2）求出S△CBE、S△BED，即可求二面角C-BE-D的余弦值．
解答： （1）证明：因为四边形ABCD为直角梯形，
AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=3，所以BD=
13
，
又因为BC=7，CD=6，所以根据勾股定理可得BD⊥CD，
因为BE=7，DE=6，同理可得BD⊥DE．
因为DE∩CD=D，DE?平面DEC，CD?平面DEC，
所以BD⊥平面DEC．
因为BD?平面BDE，
所以平面DEC⊥平面BDE；
（2）解：在△CBE中，BC=7，CE=6，BE=7，∴S△CBE=
1
2
×6×
49-9
=6
10
，
在△BED中，BD=
13
，DE=6，BE=7，∴S△BED=
1
2
×6×
13
=3
13
，
∴二面角C-BE-D的余弦值为
3
13
6
10
=
130
20
．
点评：本题考查平面与平面垂直，考查二面角C-BE-D的余弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
m
=（x-2，-1），
n
=（1，x），若
m
∥
n
，则实数x的值为
 
．
已知函数f（x）=
1
2
x2-
1
3
ex3+ex（x-1）（其中e为自然对数的底数），记f（x）的导函数为f′（x）．
（1）求函数y=f（x）的单调区间；
（2）求证：当x＞0时，不等式f′（x）≥1+lnx恒成立．
函数f（x）=lnx-
a
x
．
（1）当a=-2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（x）在[1，e]上的最小值为
3
2
，求a的值．
已知△ABC内部的一点O，恰使
OA
+2
OB
+3
OC
=
0
，则△OAB，△OAC，△OBC的面积之比为
 
．（结果须化为最简）
某班共有24人参加同时开设的数学兴趣小组和物理兴趣小组，其中参加数学兴趣小组的有6名女生，10名男生；参加物理兴趣小组的有3名女生，5名男生，现采用分层抽样方法从两组中抽取3人．
（1）求抽取的3人中恰有一名女生来自数学兴趣小组的概率；
（2）记X表示抽取3人中男生的人数，求X的分布列和数学期望．
若函数f（x）=sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ） （ω＞0，0＜φ＜2π），满足f（x+
π
3
）=f（x-
π
3
），且部分图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）解析式；
（Ⅱ）若α∈（π，2π），且f（
α
3
+
π
12
）+f（
α
3
-
π
12
）=-1，求cosα的值．
已知f（x）的定义域是[0，4]，则f（x+1）+f（x-1）的定义域
 
；f（x+1）的定义域是[0，4]，则f（2x-1）的定义域为
 
．
已知m=a+
1
a-2
（a＞2），n=2 2-b2（b≠0），则m，m的大小关系是（　　）
A、m＞nB、m＜n
C、m=nD、不确定

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