题目内容
f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=
．
（1）求f（x）在（-1，0）上的解析式
（2）证明：f（x）在（0，1）上是减函数．
| 2x |
| 4x+1 |
（1）求f（x）在（-1，0）上的解析式
（2）证明：f（x）在（0，1）上是减函数．
考点：函数单调性的判断与证明,函数解析式的求解及常用方法
专题：函数的性质及应用
分析：（1）设x∈（-1，0），则-x∈（0，1），由已知式子和函数的奇偶性可得；（2）定义法：任取0＜x1＜x2＜1，变形可得f（x2）-f（x1）＜0，可判函数的单调性．
解答：
解：（1）设x∈（-1，0），则-x∈（0，1），
∵x∈（0，1）时，f（x）=
，
∴f（-x）=
=
，
又∵f（x）为奇函数知，
∴-f（x）=
，∴f（x）=-
．
∴当x∈（-1，0）时，f（x）=-
；
（2）证明：任取0＜x1＜x2＜1，
则f（x2）-f（x1）=
-
=
，
∵0＜x1＜x2＜1，∴2x1-2x2＜0，
又4x1+1＞0，4x2+1＞0，2x1+x2-1＞0
∴f（x2）-f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1）．
∴f（x）在（0，1）上是减函数．
∵x∈（0，1）时，f（x）=
| 2x |
| 4x+1 |
∴f（-x）=
| 2-x |
| 4-x+1 |
| 2x |
| 4x+1 |
又∵f（x）为奇函数知，
∴-f（x）=
| 2x |
| 4x+1 |
| 2x |
| 4x+1 |
∴当x∈（-1，0）时，f（x）=-
| 2x |
| 4x+1 |
（2）证明：任取0＜x1＜x2＜1，
则f（x2）-f（x1）=
| 2x2 |
| 4x2+1 |
| 2x1 |
| 4x1+1 |
=
| (2x1+x2-1)(2x1-2x2) |
| (4x1+1)(4x2+1) |
∵0＜x1＜x2＜1，∴2x1-2x2＜0，
又4x1+1＞0，4x2+1＞0，2x1+x2-1＞0
∴f（x2）-f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1）．
∴f（x）在（0，1）上是减函数．
点评：本题考查函数的单调性的判断与证明，涉及函数解析式的求解，属基础题．
练习册系列答案
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| 1 |
| 2 |
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| ||
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| A、2012 | B、2013 |
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