Question

定义在（-∞，+∞）上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x）．
（1）若f（x）是偶函数，且当x∈（0，1）时，f（x）=x+1，求f（x）在（1，2）上的解析式；
（2）若f（1+x）=f（1-x），判断函数f（x）的奇偶性．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据f（x+2）=f（x），f（x）是偶函数，得出函数的周期，结合函数的图象，设出函数的表达式，从而求出f（x）的解析式；
（2）根据f（1+x）=f（1-x）得出函数的对称轴，从而得出函数是偶函数．

解答： 解：（1）∵f（x+2）=f（x），f（x）是偶函数，
∴f（x）的周期是2，函数在（0，1）的图象与在（-1，0）的图象关于y轴对称，
画出函数f（x）的图象，如图示：
，
设f（x）=kx+b，把（1，2），（2，1）代入表达式得：
f（x）=-x+3，x∈（1，2）；
（2）∵f（1+x）=f（1-x），
∴函数f（x）的对称轴是x=1，
∴函数f（x）是偶函数．

点评：本题考查了函数的奇偶性，函数的周期性，是一道中档题．