题目内容
已知定点A（1，0），B （2，0）．动点M满足
•
+
|
|=0，
（1）求点M的轨迹C；
（2）若过点B的直线l（斜率不等于零）与（1）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在B、F之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围．
| AB |
| BM |
| 2 |
| AM |
（1）求点M的轨迹C；
（2）若过点B的直线l（斜率不等于零）与（1）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在B、F之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围．
考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的综合问题
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）对抛物线方程进行求导，求得直线l的斜率，设出M的坐标，利用
•
+
|
|=0，求得x和y的关系．
（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），由两个三角形同底，令λ=
，则λ=
，由此可得
=λ
，只要求得λ即可．
| AB |
| BM |
| 2 |
| AM |
（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），由两个三角形同底，令λ=
| S△OBE |
| S△OBF |
| |BE| |
| |BF| |
| BE |
| BF |
解答：
解：（1）设M（x，y），则
=（1，0），
=（x-2，y），
=（x-1，y），
由
•
+
|
|=0，
整理，得
+y2=1．（4分）
（2）如图，由题意知l’的斜率存在且不为零，设l’方程为my=x-2①，将①代入
+y2=1，整理，得（m2+1）y2+4my+2=0，
设E（x1，y1），F（x2，y2），则
②；△＞0得m2＞1（7分）
令λ=
，则λ=
，由此可得
=λ
，λ=
，且0＜λ＜1．
∴λ+
=
+
=
=
-2=
-2=6-
（10分）
∵m2＞1，∴2＜λ+
＜6，解得3-2
＜λ＜3+2
且λ≠1（12分）
又∵0＜λ＜1，∴3-2
＜λ＜1，
∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是（3-2
，1）．（13分）
解：（1）设M（x，y），则| AB |
| BM |
| AM |
由
| AB |
| BM |
| 2 |
| AM |
整理，得
| x2 |
| 2 |
（2）如图，由题意知l’的斜率存在且不为零，设l’方程为my=x-2①，将①代入
| x2 |
| 2 |
设E（x1，y1），F（x2，y2），则
|
令λ=
| S△OBE |
| S△OBF |
| |BE| |
| |BF| |
| BE |
| BF |
| y1 |
| y2 |
∴λ+
| 1 |
| λ |
| y1 |
| y2 |
| y2 |
| y1 |
| ||||
| y1y2 |
| (y1+y2)2 |
| y1y2 |
| 8m2 |
| m2+1 |
| 8 |
| m2+1 |
∵m2＞1，∴2＜λ+
| 1 |
| λ |
| 2 |
| 2 |
又∵0＜λ＜1，∴3-2
| 2 |
∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是（3-2
| 2 |
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生基本的推理能力和基本的运算能力．
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已知tanα=-
，且α为第二象限的角，则sinα的值等于（ ）
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