Question

9．已知数列{a_n}的前n项和是S_n，且S_n=2a_n-n
（Ⅰ）求证：数列{a_n+1}为等比数列；并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）数列{b_n}满足b_n=$\frac{2n}{{a}_{n}+1}$，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）若不等式（-1）ⁿλ＜T_n+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$对一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当n≥2时，S_n=2a_n-n，∴s_n-1=2a_n-1-（n-1），两式相减，即可得数列{a_n+1}是首项和公比都是2的等比数列，
（Ⅱ）可得b_n=$\frac{2n}{{a}_{n}+1}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，利用错位相减法求T_n               
（Ⅲ）不等式（-1）ⁿλ＜T_n+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$对一切n∈N^*恒成立
?不等式（-1）ⁿλ＜4-$\frac{2}{{2}^{n-1}}$对一切n∈N^*恒成立
由$f（n）=4-\frac{2}{{2}^{n-1}}，n∈{N}^{+}$为递增函数，分n的奇偶讨论即可

解答 解：（Ⅰ）证明：当n=1时，s₁=2a₁-1=a₁，∴a₁+1=2≠0          …（1分）
当n≥2时，∵S_n=2a_n-n，∴s_n-1=2a_n-1-（n-1），两式相减
∴a_n=2a_n-2a_n-1-1，∴a_n=2a_n-1+1，∴a_n+1=2（a_n-1+1）…（3分）
∴数列{a_n+1}是首项和公比都是2的等比数列，得a_n+1=2ⁿ⇒a_n=2ⁿ-1…（4分）
（Ⅱ）可得b_n=$\frac{2n}{{a}_{n}+1}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
T_n=$1×\frac{1}{{2}^{0}}+2×\frac{1}{{2}^{1}}+3×\frac{1}{{2}^{2}}+…+（n-1）\frac{1}{{2}^{n-2}}$+n×$\frac{1}{{2}^{n-1}}$ 
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=1×$\frac{1}{{2}^{1}}+2×\frac{1}{{2}^{2}}$+…+（n-2）$\frac{1}{{2}^{n-2}}$+（n-1）$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+n×$\frac{1}{{2}^{n}}$
，两式相减得$\frac{1}{2}{T}_{n}=\frac{1}{{2}^{0}}+\frac{1}{{2}^{1}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}-n×\frac{1}{{2}^{n}}$=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$
∴${T}_{n}=4-\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$                               …（8分）
（Ⅲ）不等式（-1）ⁿλ＜T_n+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$对一切n∈N^*恒成立
?不等式（-1）ⁿλ＜4-$\frac{2}{{2}^{n-1}}$对一切n∈N^*恒成立
由$f（n）=4-\frac{2}{{2}^{n-1}}，n∈{N}^{+}$为递增函数．…（9分）
若n为偶数，则λ＜f（2）=3，∴λ＜3                …（10分）
若n为奇数，则-λ＜f（1）=2，∴-λ＜2，λ＞-2   …（11分）
∴-2＜λ＜3                                    …（12分）

点评 本题考查了数列的递推式、等比数列的判定、错位相减法求和、数列的单调性，属于中档题．