Question

19．已知F是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点，过点F作斜率为2的直线l使它与圆x²+y²=b²相切，则椭圆离心率是$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

Answer 1

分析 用点斜式求得直线l的方程为2x-y-2c=0．再根据圆心（0，0）到直线l的距离等于半径b，求得 b²=$\frac{4}{5}$c²．再根据a²-b²=c²，求得离心率 $\frac{c}{a}$的值．

解答 解：设椭圆的右焦点为F（-c，0），c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，∵直线PF的斜率为2，
则直线l的方程为y-0=2（x-c），即 2x-y-2c=0．
再根据直线l与圆x²+y²=b²相切，可得圆心（0，0）到直线l的距离等于半径b，
即 $\frac{|2c|}{\sqrt{4+1}}$=b，求得 b²=$\frac{4}{5}$c²．
再根据a²-b²=c²，可得a²-$\frac{4}{5}$c²=c²，求得$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题主要考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，直线和圆相切的性质，属于基础题．