Question

11．已知（$\root{3}{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）ⁿ（n∈N^*）的展开式中前三项的系数成等差数列．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中的有理项．

Answer 1

分析 （1）根据二项式展开式中前三项的系数成等差数列求出n的值，
再利用展开式的通项公式求出二项式系数最大项；
（2）根据展开式中字母的指数为整数，求出展开式中的有理项．

解答 解：（$\root{3}{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）ⁿ（n∈N^*）的展开式中前三项的系数成等差数列，
即$C_n^0$，$C_n^1•\frac{1}{2}$，$C_n^2•{（\frac{1}{2}）^2}$成等差数列，
∴$C_n^1=C_n^0+\frac{1}{4}C_n^2$，
解得n=8；
（1）（$\root{3}{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）⁸展开式的通项公式为
T_r+1=${C}_{8}^{r}$•${（\root{3}{x}）}^{8-r}$•${（\frac{1}{2\sqrt{x}}）}^{r}$
=${C}_{8}^{r}$•${（\frac{1}{2}）}^{r}$•${x}^{\frac{16-5r}{6}}$（其中r=0，1，2，…，8），
二项式系数最大项为${T_5}=\frac{35}{8}•{x^{-\frac{2}{3}}}$；
（2）由$\frac{16-5r}{6}$为整数，知r=2或8，
∴展开式中有理项为T₃=7x，
${T_9}=\frac{1}{{256{x^4}}}$．

点评 本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了等差数列的应用问题，是中档题．