Question

20．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$（n∈N^*），若b_n+1=（n-2λ）•（$\frac{1}{{a}_{n}}$+1）（n∈N^*），b₁=-$\frac{3}{2}$λ，且数列{b_n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是$（-∞，\frac{4}{5}）$．

Answer 1

分析 数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$（n∈N^*），两边取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1=2$（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$，可得$\frac{1}{{a}_{n}}$+1=2ⁿ，代入b_n+1=（n-2λ）$（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$=（n-2λ）•2ⁿ，数列{b_n}是单调递增数列，n≥2时，利用b_n+1＞b_n，可得λ＜$\frac{3}{2}$．但是当n=1时，b₂＞b₁，即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$（n∈N^*），
∴两边取倒数，化为$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=1+$\frac{2}{{a}_{n}}$，变形为：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1=2$（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$+1}是等比数列，首项为$\frac{1}{{a}_{1}}$+1=2，公比为2，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$+1=2ⁿ，
∴b_n+1=（n-2λ）$（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$=（n-2λ）•2ⁿ，
∵数列{b_n}是单调递增数列，n≥2时，
∴b_n+1＞b_n，
∴（n-2λ）•2ⁿ＞（n-1-2λ）•2^n-1，
化为：λ＜$\frac{n+1}{2}$，
解得λ＜$\frac{3}{2}$．
但是当n=1时，
b₂＞b₁，∵b₁=-$\frac{3}{2}$λ，
∴（1-2λ）•2＞-$\frac{3}{2}$λ，
解得λ＜$\frac{4}{5}$，
∴λ∈$（-∞，\frac{4}{5}）$．
故答案为：$（-∞，\frac{4}{5}）$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其性质、数列递推关系、单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．