Question

1．已知数列{a_n}满足${a_1}+2{a_2}+…+n{a_n}=（n-1）{2^{n+1}}+2$，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若${b_n}=\frac{1}{{{{log}_2}{a_n}•{{log}_2}{a_{n+1}}}}$，T_n=b₁+b₂+…+b_n，求证：对任意的n∈N*，T_n＜1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当n＞1时，${a_1}+2{a_2}+…+n{a_n}=（n-1）{2^{n+1}}+2$，n∈N*…①，${a}_{1}+2{a}_{2}+…+（n-1）{a}_{n-1}=（n-2）{2}^{n}$…②，①-②得$n{a_n}=（n-1）{2^{n+1}}-（n-2）{2^n}=n•{2^n}$，${a_n}={2^n}$；
（Ⅱ）因为${a_n}={2^n}$，${b_n}=\frac{1}{{{{log}_2}{a_n}•{{log}_2}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，累加求和即可证明．

解答 解：（Ⅰ）当n＞1时，${a_1}+2{a_2}+…+n{a_n}=（n-1）{2^{n+1}}+2$，n∈N*…①．
${a}_{1}+2{a}_{2}+…+（n-1）{a}_{n-1}=（n-2）{2}^{n}$…②
①-②得$n{a_n}=（n-1）{2^{n+1}}-（n-2）{2^n}=n•{2^n}$，${a_n}={2^n}$，
当n=1时，a₁=2，所以${a_n}={2^n}，n∈N*$．
（Ⅱ）因为${a_n}={2^n}$，${b_n}=\frac{1}{{{{log}_2}{a_n}•{{log}_2}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
因此${T_n}=（{1-\frac{1}{2}}）+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+…+（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）$=$1-\frac{1}{n+1}$，
所以T_n＜1．

点评 本题考查了数列的递推式，、裂项求和，属于中档题．