题目内容
18．
如图所示的几何体P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，AB=a，$PB=\sqrt{3}a$，PB⊥AB，平面ABCD⊥平面PAB，AC∩BD=O，E为PD的中点，G为平面PAB内任一点．（1）在平面PAB内，过G点是否存在直线l使OE∥l？如果不存在，请说明理由，如果存在，请说明作法；
（2）过A，C，E三点的平面将几何体P-ABCD截去三棱锥D-AEC，求剩余几何体AECBP的体积．
分析 （1）由题可知O为BD的中点，又E为PD的中点，可得OE∥PB．若点G在直线PB上，则直线PB即为所求作直线l，有OE∥l；若点G不在直线PB上，在平面PAB内，过点G作直线l，使l∥PB，由平行公理可得OE∥l，即过G点存在直线l使OE∥l；
（2）连接EA，EC，则平面ACE将几何体分成两部分，利用等积法求出VD-AEC=VE-ACD=$\frac{1}{3}{S_{△ACD}}•EO$=$\frac{1}{4}{V_{P-ABCD}}=\frac{1}{8}{a^3}$，再由VP-ABCD-VD-EAC求得何体AECBP的体积．
解答 
解：（1）过G点存在直线l使OE∥l，理由如下：
由题可知O为BD的中点，又E为PD的中点，
∴在△PBD中，有OE∥PB．
若点G在直线PB上，则直线PB即为所求作直线l，
∴OE∥l；
若点G不在直线PB上，在平面PAB内，
过点G作直线l，使l∥PB，
又OE∥PB，∴OE∥l，
即过G点存在直线l使OE∥l；
（2）连接EA，EC，则平面ACE将几何体分成两部分：
三棱锥D-AEC与几何体AECBP（如图所示）．
∵平面ABCD⊥平面PAB，且交线为AB，
又PB⊥AB，∴PB⊥平面ABCD．
故PB为几何体P-ABCD的高．
又四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，AB=a，$PB=\sqrt{3}a$，
∴S四边形ABCD=2×$\frac{{\sqrt{3}}}{4}{a^2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}{a^2}$，
∴${V_{P-ABCD}}=\frac{1}{3}{S_{四边形ABCD}}•PB$=$\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}{a^2}×\sqrt{3}a=\frac{1}{2}{a^3}$．
又OE∥PB，OE=$\frac{1}{2}PB$，∴OE⊥平面ACD，
∴VD-AEC=VE-ACD=$\frac{1}{3}{S_{△ACD}}•EO$=$\frac{1}{4}{V_{P-ABCD}}=\frac{1}{8}{a^3}$，
∴几何体AECBP的体积V=VP-ABCD-VD-EAC=$\frac{1}{2}{a^3}-\frac{1}{8}{a^3}=\frac{3}{8}{a^3}$．
点评 本题考查平面与平面垂直的性质，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案| A． | 3+2$\sqrt{2}$ | B． | 3+2$\sqrt{3}$ | C． | 7 | D． | 11 |
如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，F为线段DF的中点．
如图，在四棱锥中S-ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB=3，
如图，在杨辉三角中，斜线l上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前n项和为Sn，则S19等于283．