Question

17．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱CC₁垂直于底面，E为侧棱CC₁上的点，底面ABCD为正方形，底面边长|AB|=2，侧棱|BB₁|=4，|CE|=1
（1）求证，A₁C⊥平面BED；
（2）求A₁B与平面BED所成角的正弦值．

Answer 1

分析 以D点为原点，以$\overrightarrow{DA，}$$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{D{D}_{1}}$的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系 易知D（0，0，0）、A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0）、A₁（2，0，4）、B₁（2，2，4）、C₁（0，2，4）、D₁（0，0，4）、E（0，2，1），
（1）由$\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{BE}=4+0-4=0$，$\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{DB}=-4+4+0=0$，即A₁C⊥DB，且A₁C⊥BE．又BE∩DB=B，得A₁C⊥平面BED；
（2）知$\overrightarrow{{A}_{1}C}=（-2，2，-4）$是平面BDE的一个法向量 由cos$＜\overrightarrow{{A}_{1}C}，\overrightarrow{{A}_{1}B}＞$=$\frac{20}{\sqrt{24}×\sqrt{20}}=\frac{\sqrt{30}}{6}$，可得AA₁B与平面BDE所成角的正弦值．

解答 解：（1）以D点为原点，以$\overrightarrow{DA，}$$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{D{D}_{1}}$的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系（如图），
易知D（0，0，0）、A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0）、A₁（2，0，4）、B₁（2，2，4）、
C₁（0，2，4）、D₁（0，0，4）、E（0，2，1）…（2分）
从而$\overrightarrow{{A}_{1}C}=（-2，2，-4）$，$\overrightarrow{DB}=（2，2，0）$，$\overrightarrow{BE}=（-2，0，0）$，
则$\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{BE}=4+0-4=0$，$\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{DB}=-4+4+0=0$
即A₁C⊥DB，且A₁C⊥BE．又BE∩DB=B，故A₁C⊥平面BED；．…（6分）
（2）由（1）知$\overrightarrow{{A}_{1}C}=（-2，2，-4）$是平面BDE的一个法向量，…（8分）
而$\overrightarrow{{A}_{1}B}=（0，2，-4）$，因此cos$＜\overrightarrow{{A}_{1}C}，\overrightarrow{{A}_{1}B}＞$=$\frac{20}{\sqrt{24}×\sqrt{20}}=\frac{\sqrt{30}}{6}$，…（10分）
从而AA₁B与平面BDE所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{30}}{6}$．…（12分）

点评 本题考查了空间线面垂直的判定，线面角的求解，属于中档题，