题目内容
2．已知数列{an}的前n项和Sn满足：2Sn=3an+n-2．（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=log3（2an+1-1），Tn为数列{bn}的前n项和，令Mn=$\frac{1}{{T}_{1}}$+$\frac{1}{{T}_{2}}$+…+$\frac{1}{{T}_{n}}$是否存在最大的正整数m，使Mn≥$\frac{m}{4}$都成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
分析 （1）利用递推关系可得：${a}_{n}-\frac{1}{2}$=3$（{a}_{n-1}-\frac{1}{2}）$，再利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）bn=n，数列{bn}的前n项和Tn=$\frac{n（n+1）}{2}$，可得$\frac{1}{{T}_{n}}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．利用“裂项求和”可得Mn，再利用数列的单调性即可得出．
解答 解：（1）∵2Sn=3an+n-2，∴当n=1时，2a1=3a1+1-2，解得a1=1．
当n≥2时，2Sn-1=3an-1+n-3，∴2an=3an-3an-1+1，化为：${a}_{n}-\frac{1}{2}$=3$（{a}_{n-1}-\frac{1}{2}）$，
∴数列$\{{a}_{n}-\frac{1}{2}\}$是等比数列，首项为$\frac{1}{2}$，公比为3．
∴an-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}×{3}^{n-1}$，
∴an=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}×{3}^{n-1}$．
（2）bn=log3（2an+1-1）=n，
数列{bn}的前n项和Tn=$\frac{n（n+1）}{2}$，
$\frac{1}{{T}_{n}}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
令Mn=$\frac{1}{{T}_{1}}$+$\frac{1}{{T}_{2}}$+…+$\frac{1}{{T}_{n}}$=2$[（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=2$（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{2n}{n+1}$．
假设存在最大的正整数m，使Mn≥$\frac{m}{4}$都成立．
则m≤$\frac{8n}{n+1}$，
$\frac{8n}{n+1}$=$\frac{8}{1+\frac{1}{n}}$≥4，当n=1时取等号，
∴m≤4．
∴存在最大的正整数m=4，满足条件．
点评 本题考查了等比数列的通项公式、“裂项求和”、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
| A． | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | B． | $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ | C． | $\sqrt{3}$ | D． | 2$\sqrt{3}$ |