Question

14．设F₂（c，0）（c＞0）是双曲线Г：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点，M是双曲线坐支上的点，线段MF₂与圆x²+y²-$\frac{2c}{3}$x+$\frac{{a}^{2}}{9}$=0相切与点D，且$\overrightarrow{M{F}_{2}}$+3$\overrightarrow{{F}_{2}D}$=$\overrightarrow{0}$，则双曲线Г的渐近线方程为（　　）

• A． y=$±\sqrt{2}$x
• B． y=±2x
• C． y=$±\frac{3}{2}$x
• D． y=±4x

Answer 1

分析 由圆的方程求出圆心坐标，设出D的坐标，由题意列式求出D的坐标，结合$\overrightarrow{M{F}_{2}}$+3$\overrightarrow{{F}_{2}D}$=$\overrightarrow{0}$，求得M的坐标，再把M的坐标代入双曲线方程求得答案．

解答 解：由x²+y²-$\frac{2c}{3}$x+$\frac{{a}^{2}}{9}$=0，得（x-$\frac{c}{3}$）²+y²=$\frac{{b}^{2}}{9}$，
则该圆的圆心坐标为（$\frac{c}{3}$，0），半径为$\frac{b}{3}$．
设切点D（x₀，y₀）（y₀＞0），
则由x²+y²-$\frac{2c}{3}$x+$\frac{{a}^{2}}{9}$=0与（x₀-c，y₀）•（x₀-$\frac{c}{3}$，y₀）=0，
解得：x₀=$\frac{3{c}^{2}-{a}^{2}}{6c}$，y₀=$\frac{b\sqrt{3{c}^{2}+{a}^{2}}}{6c}$．
∴D（$\frac{3{c}^{2}-{a}^{2}}{6c}$，$\frac{b\sqrt{3{c}^{2}+{a}^{2}}}{6c}$），
由$\overrightarrow{M{F}_{2}}$+3$\overrightarrow{{F}_{2}D}$=$\overrightarrow{0}$，得M（-$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2c}$，$\frac{b\sqrt{3{c}^{2}+{a}^{2}}}{2c}$），
代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1整理得$\frac{b}{a}$=2，∴双曲线Г的渐近线方程为y=±2x．
故选：B．

点评 本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了圆与圆锥曲线间的关系，考查了学生的计算能力，是中档题．