Question

12．设P是函数y=elnx上一点，Q是直线y=x+3上一点，则PQ的最小值为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由导数可得曲线的切线y=x+t的t值，由平行线间的距离公式可得所求．

解答 解：∵y=elnx，∴y′=$\frac{e}{x}$
设与直线y=x+3平行的直线与曲线y=elnx相切，
则可得直线的斜率1等于该点处的导数值$\frac{e}{{x}_{0}}$，
解得x₀=e，∴y₀=e，
把点（e，e）代入y=x+t可解得t=0，
∴两平行线y=x与y=x+3的距离d=$\frac{3}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴|PQ|的最小值为：$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查平行线间的距离公式，涉及曲线的切线的求解，属中档题．