Question

13．在正四棱锥P-ABCD中，PA=2，E为PC的中点，若异面直线PA与BE所成角为45°，则四棱锥P-ABCD的高为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，以O为原点，过O作DA的平行线为x轴，过O作AB的平行线为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出四棱锥P-ABCD的高．

解答 解：过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，以O为原点，过O作DA的平行线为x轴，过O作AB的平行线为y轴，OP为z轴，
建立空间直角坐标系，设正方形ABCD的边长为2a，
则A（a，-a，0），B（a，a，0），P（0，0，$\sqrt{4-2{a}^{2}}$），C（-a，a，0），E（-$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{4-2{a}^{2}}}{2}$），
$\overrightarrow{PA}$=（a，-a，-$\sqrt{4-2{a}^{2}}$），$\overrightarrow{BE}$=（-$\frac{3a}{2}$，-$\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{4-2{a}^{2}}}{2}$），
∵异面直线PA与BE所成角为45°，
∴cos45°=$\frac{|-\frac{3{a}^{2}}{2}+\frac{{a}^{2}}{2}-（2-{a}^{2}）|}{\sqrt{4}•\sqrt{1+2{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或a=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍），
∴PO=$\sqrt{4-2×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$．
故选：C．

点评 本题考查四棱锥的高的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．