题目内容
17．已知数列{an}的各项都是正数，其前n项和Sn=$\frac{{{a}_{n}}^{2}+{a}_{n}}{2}$（n∈N*），数列{bn}满足bn=$\frac{121}{n+1}$（n∈N*），则当an+bn取最小值时n=10．分析 求出{an}的通项公式，利用基本不等式求出an+bn的最小值及其条件．
解答 解：∵当n=1时，a1=$\frac{{{a}_{1}}^{2}+{a}_{1}}{2}$，∵a1＞0，∴a1=1．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=$\frac{{{a}_{n}}^{2}-{{a}_{n-1}}^{2}+{a}_{n}-{a}_{n-1}}{2}$，∴an+an-1=（an+an-1）（an-an-1）．
∵数列{an}的各项都是正数，∴an+an-1≠0，∴an-an-1=1．
∴{an}是以1为首项，以1为公差的等差数列．∴an=n．
∴an+bn=n+1+$\frac{121}{n+1}$-1≥2$\sqrt{121}$-1=21．当且仅当n+1=$\frac{121}{n+1}$即n=10时取等号．
故答案为10．
点评 本题考查了数列的递推公式，基本不等式，等差数列的通项公式，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点．
5．已知数列{an}的前n项和Sn=$\frac{3}{2}$（3n-1），则数列{$\frac{1}{（lo{g}_{3}{a}_{n+1}）（lo{g}_{3}{a}_{n+2}）}$}的前10项和为（ ）
| A． | $\frac{5}{6}$ | B． | $\frac{11}{12}$ | C． | $\frac{10}{11}$ | D． | $\frac{5}{12}$ |
12．设点P分有向线段$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}$的比是λ，且点P在有向线段$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}$的延长线上，则λ的取值范围是（ ）
| A． | （-∞，-1） | B． | （-1，0） | C． | （-∞，0） | D． | （-∞，-$\frac{1}{2}$） |
9．已知f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{4}$）（ω＞0），若f（$\frac{π}{2}$）=f（π），且在区间（$\frac{π}{2}$，π）内，f（x）≤f（$\frac{π}{2}$），则ω=（ ）
| A． | $\frac{1}{3}$ | B． | $\frac{5}{3}$ | C． | $\frac{1+8k}{3}$，k∈N | D． | $\frac{5+8k}{3}$，k∈N |
6．数列1，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{{2}^{2}}$，…，$\frac{1}{{2}^{n}}$，则各项和等于（ ）
| A． | 2-$\frac{1}{{2}^{n}}$ | B． | 1-$\frac{1}{{2}^{n}}$ | C． | 1-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$ | D． | $\frac{1}{{2}^{n}}$ |