题目内容
10．已知函数f（x）=2x-$\frac{a}{x}$（a＞0）．（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明你的结论；
（2）求证：函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．
分析 （1）求出定义域，求出f（-x），判断f（-x）与f（x）的关系得出结论．
（2）设0＜x1＜x2，对f（x1）-f（x2）化简，根据0＜x1＜x2判断f（x1）-f（x2）的符号．
解答 解：（1）由函数有意义得x≠0，∴f（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．
∵f（-x）=-2x+$\frac{a}{x}$=-f（x），∴f（x）是奇函数．
（2）设x1，x2是（0，+∞）上的任意两个数，且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=2x1-2x2+$\frac{a}{{x}_{2}}$-$\frac{a}{{x}_{1}}$=2（x1-x2）+$\frac{a（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x1-x2）（2+$\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}$）．
∵x1＜x2，a＞0∴x1-x2＜0，$\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．
点评 本题考查了函数奇偶性，单调性的判断与证明，属于基础题．
练习册系列答案
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| A． | $\frac{5}{6}$ | B． | $\frac{11}{12}$ | C． | $\frac{10}{11}$ | D． | $\frac{5}{12}$ |
如图，△ABC的内切圆I切AB、BC、AC于点D、E、F．直线EF与AI、BI、DI交于点M、N、K．求证：DM•KE=DN•KF．