Question

有下列命题：
①函数f（-x+2）与y=f（x-2）的图象关于y轴对称
②若函数f（x）=e^x，则对任意的x₁，x₂∈R，都有f(

x1+x2

2

)≤

f(x1)+f(x2)

2

③若函数f（x）=log_a|x|（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上单调递增，则f（-2）＞f（a+1）
④若函数f（x+2013）=x²-2x-1（x∈R），则函数的最小值为-2
其中正确的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：①令t=-x+2，知y=f（t）与y=f（-t）的图象关于y轴对称，从而得出y=f（-x+2）与y=f（x-2）的图象的对称性；
②利用作商法，结合基本不等式，判定f(

x1+x2

2

)≤

f(x1)+f(x2)

2

是否成立即可；
③由函数f（x）的单调性与奇偶性判定命题是否正确；
④利用换元法求出函数f（x）的解析式，再求出f（x）的最小值，即可判定命题是否正确．

解答： 解：①设t=-x+2，∴x-2=-t，
∴函数化为y=f（t）与y=f（-t），
两函数图象关于直线t=0对称，
由t=-x+2=0得：x=2，
∴y=f（-x+2）与y=f（x-2）的图象关于直线x=2对称；
∴命题①错误；
②∵f（x）=e^x，对任意的x₁，x₂∈R，
有

f(x1)+f(x2) 2

f( x1+x2 2 )

=

ex1+ex2

2e x1+x2 2

=

e x1-x2 2

2

+

e x2-x1 2

2

≥2

e x1-x2 2 2 • e x2-x1 2 2

=2×

1

2

=1，
∴f(

x1+x2

2

)≤

f(x1)+f(x2)

2

，
∴命题②正确；
③当函数f（x）=log_a|x|（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上单调递增时，
a＞1，∴a+1＞2，
∴f（a+1）＞f（2）；
又f（-2）=f（2），
∴f（a+1）＞f（-2）；
∴命题③错误；
④∵函数f（x+2013）=x²-2x-1（x∈R），
设x+2013=t，则x=t-2013；
∴f（t）=（t-2013）²-2（t-2013）-1
=（t-2013-1）²-1-1
=（t-2014）²-2，
即f（x）=（x-2014）²-2；
∴函数f（x）的最小值为-2，
∴命题④正确；
综上知，正确命题的序号是②④；
故答案为：②④．

点评：本题通过命题真假的判定考查了函数的单调性、奇偶性、对称轴以及最值问题，是综合题目．