Question

已知函数f(x)=

1

2

x2-ax+(a-1)lnx，a＞1．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若g（x）=（2-a）x-lnx，f（x）≥g（x）在区间[e，+∞）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知中函数的解析式，求出函数的定义域，求出导函数，分a=2，1＜a＜2和a＞2三种情况，分别讨论导函数的符号，进而可得f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≥g（x）在区间[e，+∞）恒成立，则F（x）=f（x）-g（x）=

1

2

x2+alnx-2x≥0在区间[e，+∞）恒成立，分析F（x）的单调性，进而可将问题转化为最值问题．

解答： 解：（1）函数f(x)=

1

2

x2-ax+(a-1)lnx的定义域为（0，+∞）
且f′(x)=x-a+

a-1

x

=

x2-ax+a-1

x

=

(x-1)(x+1-a)

x

（i）若a-1=1，即a=2，则f′（x）=

(x-1)2

x

≥0恒成立，
故f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；无单调递减区间．
（ii）若a-1＜1，即1＜a＜2，
则当x∈（a-1，1）时，f′（x）＜0
当x∈（0，a-1）或x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0
故f（x）的单调递增区间为（0，a-1）和（1，+∞）；单调递减区间为（a-1，1）．
（iii）若a-1＞1，即a＞2，
则当x∈（1，a-1）时，f′（x）＜0
当x∈（0，1）或x∈（a-1，+∞）时，f′（x）＞0
故f（x）的单调递增区间为（0，1）和（a-1，+∞）；单调递减区间为（1，a-1）．
（2）∵g（x）=（2-a）x-lnx，
若f（x）≥g（x）在区间[e，+∞）恒成立，
则F（x）=f（x）-g（x）=

1

2

x2+alnx-2x在区间[e，+∞）恒成立，
∵F′（x）=x+

a

x

-2≥2

a

-2＞0
∴F（x）在区间[e，+∞）上为增函数
故F（e）=

1

2

e2+alne-2e=

1

2

e2+a-2e≥0
即a≥2e-

1

2

e2
故a的取值范围为[2e-

1

2

e2，+∞）

点评：本题考查的知识点是导数法确定函数的单调性，导数法求函数的最值，函数恒成立问题，是导数的综合应用，难度中档．