Question

已知k∈[-2，1]，则k的值使得过A（1，1）可以作两条直线与圆 x²+y²+kx-2y-

5

4

k=0相切的概率等于（　　）

• A、

  1

  3

• B、

  1

  2

• C、

  2

  3

• D、

  3

  4

Answer 1

考点：几何概型,直线与圆的位置关系

专题：概率与统计

分析：把圆的方程化为标准方程后，根据构成圆的条件得到等号右边的式子大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集，然后由过已知点总可以作圆的两条切线，得到点在圆外，故把点的坐标代入圆的方程中得到一个关系式，让其大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集，综上，求出两解集的并集即为实数k的取值范围．最后利用几何概型的计算公式求解即得．

解答： 解：把圆的方程化为标准方程得：（x+

1

2

k）²+（y-1）²=

1

4

k²+

5

4

k+1，
所以

1

4

k²+

5

4

+1＞0，解得：k＞-1或k＜-4，
又点（1，1）应在已知圆的外部，
把点代入圆方程得：1+1+k-2-1.25k＞0，解得：k＜0，
则实数k的取值范围是（-∞，-4）∪（-1，0）．
任取k∈[-2，1]，
则k的值使得过A（1，1）可以作两条直线与圆x²+y²+kx-2y-1.25k=0相切的概率为P=

0-(-1)

1-(-2)

=

1

3

，
故选：A．

点评：此题考查了几何概型，点与圆的位置关系，二元二次方程为圆的条件及一元二次不等式的解法．理解过已知点总利用作圆的两条切线，得到把点坐标代入圆方程其值大于0是解本题的关键．