Question

设f（x）=ax³+bx+c为奇函数，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线x-6y-7=0垂直，导函数f′（x）的最小值为-12．
（1）求a，b，c的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间，极大值和极小值，并求函数f（x）在[-1，3]上的最大值与最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的概念及应用

分析：（1）先根据奇函数求出c的值，再根据导函数f'（x）的最小值求出b的值，最后依据在x=1处的导数等于切线的斜率求出c的值即可；
（2）先求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求得区间即为单调区间，根据极值与最值的求解方法，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x）
即-ax³-bx+c=-ax³-bx-c
∴c=0
∵f'（x）=3ax²+b的最小值为-12
∴b=-12
又直线x-6y-7=0的斜率为

1

6

因此，f'（1）=3a+b=-6
∴a=2，b=-12，c=0．
（2）f（x）=2x³-12x．f′（x）=6（x+

2

）（x-

2

），列表如下：

所以函数f（x）的单调增区间是（-∞，

2

）和（

2

，+∞），
∵f（-1）=10，f（

2

）=-8

2

，f（3）=18
∴f（x）在[-1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是f（

2

）=-8

2

．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力．