Question

求证：

12

1•3

+

22

3•5

+…+

n2

(2n-1)(2n+1)

=

n(n+1)

2(2n+1)

，n∈N^*．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：证明题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：利用数学归纳法的证明步骤，验证n=1时成立，假设n=k是成立，证明n=k+1时等式也成立即可．

解答： 证明：（1）当n=1时，左边=

1

3

，右边=

1

3

，等式成立．--（3分）
（2）假设当n=k时，等式成立，即

12

1•3

+

22

3•5

+…+

k2

(2k-1)(2k+1)

=

k(k+1)

2(2k+1)

-----（6分）
那么，当n=k+1时，左边=

12

1•3

+

22

3•5

+…+

k2

(2k-1)(2k+1)

+

(k+1)2

(2k+1)(2k+3)

=

k(k+1)

2(2k+1)

+

(k+1)2

(2k+1)(2k+3)

=

(k+1)(k+2)

2(2k+3)

这就是说，当n=k+1时等式也成立．----------------------（13分）
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N^*都成立．-----------------------（14分）

点评：本题是中档题，考查数学归纳法的应用，注意数学归纳法证明时，必须用上假设．