Question

已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，椭圆短轴的端点和焦点组成的四边形为正方形，且

2a2

c

=4．
（1）求椭圆方程；
（2）直线l过点P（0，2），且与椭圆相交于A、B两点，当△AOB面积取得最大值时，求直线l的方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．由条件得b=c，a²=2c，a²=b²+c²，解出即可；
（2）直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为：y=kx+2，联立直线和椭圆方程，消去y得关于x的方程，运用韦达定理，弦长公式以及三角形的面积公式，再由基本不等式即可得到最大值．

解答： 解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
则由条件得，b=c，a²=2c，a²=b²+c²，
解得a²=2，b=c=1．
故椭圆方程为

x2

2

+y2=1
（2）直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为：y=kx+2，
由y=kx+2和椭圆方程

x2

2

+y2=1，联立，消去y得
（1+2k²）x²+8kx+6=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

8kx

1+2k2

，x₁x₂=

6

1+2k2

，
∵△＞0，∴k²＞

3

2

，
∴|AB|=

(1+k2)[ 64k2 (1+2k2)2 - 24 1+2k2 )

，
又O到直线AB的距离为d=

2

1+2k2

，
∴S_△AOB=

1

2

|AB|d=

16k2-24

1+2k2

=2

2

•

2k2-3

1+2k2

令t=

2k2-3

（t＞0），则S=2

2

•

1

t+ 4 t

≤

2

2

，
当且仅当t²=4，即k=±

14

2

时，取等号，
此时直线方程为y=±

14

2

x+2．

点评：本题考查椭圆的方程和性质及运用，考查直线和椭圆方程联立，消去一个未知数，运用韦达定理，和弦长公式，考查运算求解能力，属于中档题．