Question

9．已知f'（x）是奇函数f（x）的导函数，f（-1）=0，当x＞0时，f′（x）＜$\frac{f（x）}{x}$，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-1）∪（0，1）
• B． （-1，0）∪（1，+∞）
• C． （-1，0）∪（0，1）
• D． （-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 根据题意，构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，分析可得g（x）为偶函数，且g（-1）=g（1）=0，对g（x）求导可得g′（x），分析可得g′（x）＜0，即函数g（x）在（0，+∞）上为减函数，进而分析可得g（x）=$\frac{f（x）}{x}$＞0在（0，+∞）的解集为（0，1），即f（x）＞0在（0，+∞）的解集为（0，1），结合函数f（x）的奇偶性可得f（x）＞0在（-∞，0）的解集，综合可得答案．

解答 解：根据题意，令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，则有g（-x）=$\frac{f（-x）}{（-x）}$=$\frac{f（x）}{x}$=g（x），即g（x）为偶函数；
f（-1）=0，则有g（-1）=$\frac{f（-1）}{（-1）}$=0，
又由g（x）为偶函数，则g（1）=0，
g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，g′（x）=$\frac{f′（x）•x-（x）′•f（x）}{{x}^{2}}$=$\frac{x•f′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
又由当x＞0时，f′（x）＜$\frac{f（x）}{x}$，即x•f′（x）-f（x）＜0，
则有g′（x）=$\frac{f′（x）•x-（x）′•f（x）}{{x}^{2}}$=$\frac{x•f′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＜0，即函数g（x）在（0，+∞）上为减函数；
又由g（1）=0，
则g（x）=$\frac{f（x）}{x}$＞0在（0，+∞）的解集为（0，1），
即f（x）＞0在（0，+∞）的解集为（0，1），
又由f（x）为奇函数，则f（x）＞0在（-∞，0）的解集为（-∞，-1），
综合可得：f（x）＞0的解集为（-∞，-1）∪（0，1）；
故选：A．

点评 本题考查函数的导数与单调性的关系，涉及函数奇偶性的性质，关键是构造函数g（x）．