Question

14．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1的离心率是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$或$\frac{\sqrt{21}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$或$\frac{\sqrt{21}}{3}$

Answer 1

分析 由等比中项的概念列式求得m值，然后分m=4和m=-4求得圆锥曲线的离心率．

解答 解：∵m是2和8的等比中项，
∴m²=16，得m=±4．
若m=4，则圆锥曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{3}=1$，表示焦点在y轴上的椭圆，
此时a=2，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=1$，椭圆离心率为e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$；
若m=-4，则圆锥曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$，表示焦点在x轴上的双曲线，
此时a=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=\sqrt{7}$，双曲线离心率e=$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{21}}{3}$．
∴圆锥曲线$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1的离心率是$\frac{1}{2}$或$\frac{\sqrt{21}}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查椭圆与双曲线的标准方程，考查椭圆与双曲线的简单性质，是基础的计算题．