Question

6．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a²=3b²+3c²-2$\sqrt{3}$bcsinA，则C的值为（　　）

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 利用余弦定理与不等式结合的思想求解a，b，c的关系．即可求解C的值．

解答 解：根据a²=3b²+3c²-2$\sqrt{3}$bcsinA，…①
余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，…②
由①-②可得：2b²+2c²=2$\sqrt{3}$bcsinA-2bccosA
化简：b²+c²=$\sqrt{3}$bcsinA-bccosA
?b²+c²=2bcsin（A-$\frac{π}{6}$），
∵b²+c²≥2bc，
∴sin（A-$\frac{π}{6}$）=1，
∴A=$\frac{2π}{3}$，
此时b²+c²=2bc，
故得b=c，即B=C，
∴C=$\frac{π-\frac{2π}{3}}{2}$=$\frac{π}{6}$．
故选：B．

点评 本题主要考查了存在性思想，余弦定理与不等式结合的思想，界限的利用．属于中档题．