Question

7．如图，△ABC中，M是中线AD的中点．若|$\overrightarrow{AB}$|=2，|$\overrightarrow{AC}$|=3，∠BAC=60°，则$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BM}$的值为-$\frac{9}{16}$．

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{BM}$，再计算$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BM}$．

解答 解：∵D是BC的中点，∴$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，
又M是AD的中点，∴$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}$）=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$-$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}$=（$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$）•（$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$-$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$）=-$\frac{3}{16}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$+$\frac{1}{16}$$\overrightarrow{AC}$²-$\frac{1}{8}$$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$，
∵|$\overrightarrow{AB}$|=2，|$\overrightarrow{AC}$|=3，∠BAC=60°，
∴${\overrightarrow{AB}}^{2}$=4，${\overrightarrow{AC}}^{2}$=9，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2×3×cos60°=3，
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}$=-$\frac{3}{4}$+$\frac{9}{16}$-$\frac{3}{8}$=-$\frac{9}{16}$．
故答案为：-$\frac{9}{16}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．