Question

18．已知函数f（x）=|sinx|+cosx，现有如下几个命题：
①该函数为偶函数；
②该函数最小正周期为$\frac{π}{2}$；
③该函数值域为$[-1，\sqrt{2}]$；
④若定义区间（a，b）的长度为b-a，则该函数单调递增区间长度的最大值为$\frac{3π}{4}$．
其中正确命题为①③④．

Answer 1

分析 将函数f（x）表示为分段函数形式，①根据奇偶性的定义进行判断，②利用周期性的定义进行排除，③结合三角函数的有界性进行求解，④求出函数的单调递增区间进行判断即可．

解答 解：当sinx≥0，即2kπ≤x≤2kπ+π，k∈Z，此时f（x）=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
当sinx＜0，即2kπ-π≤x≤2kπ，k∈Z，此时f（x）=-sinx+cosx=$\sqrt{2}$cos（x+$\frac{π}{4}$），
①f（-x）=|sin（-x）|+cosx=|sinx|+cosx=f（x），则函数f（x）是偶函数，故①正确，
②f（x+$\frac{π}{2}$）=|sin（x+$\frac{π}{2}$）|+cos（x+$\frac{π}{2}$）=|cosx|-sinx≠f（x），则函数最小正周期为$\frac{π}{2}$错误，故②错误，
当2kπ≤x≤2kπ+π时，2kπ+$\frac{π}{4}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{5π}{4}$，此时$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-1，$\sqrt{2}$]，
当2kπ-π≤x≤2kπ时，2kπ$-\frac{3π}{4}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{4}$，此时$\sqrt{2}$cos（x+$\frac{π}{4}$）∈[-1，$\sqrt{2}$]，
综上f（x））∈[-1，$\sqrt{2}$]，即函数的值域为[-1，$\sqrt{2}$]，故③正确，
④作出函数f（x）的图象如图：函数单调递增的最大区间在函数f（x）=$\sqrt{2}$cos（x+$\frac{π}{4}$），
由2kπ-π≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ，k∈Z得2kπ-$\frac{5π}{4}$≤x≤2kπ-$\frac{π}{4}$，k∈Z
∵2kπ-π≤x≤2kπ，∴此时2kπ-π≤x≤2kπ-$\frac{π}{4}$，即此时函数的单调递增区间为[2kπ-π，2kπ-$\frac{π}{4}$]，
当k=0时，单调递增区间为[-π，-$\frac{π}{4}$]，此时区间长度为-$\frac{π}{4}$-（-π）=$\frac{3π}{4}$，
故④正确，

故答案为：①③④．

点评 本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，利用绝对值的性质将函数表示成分段函数是解决本题的关键．