Question

设a为实数，函数f（x）=3x²+（x-a）|x-a|
（1）若f（0）≥2，求a的取值范围；
（2）求f（x）的最小值；
（3）设函数h（x）=f（x），x∈（a，+∞），求不等式h（x）≥2的解集．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,其他不等式的解法

专题：分类讨论,不等式的解法及应用

分析：（1）分a≥0和a＜0来讨论；
（2）去绝对值后，利用配方法求出函数最小值；
（3）转化为二次不等式，对方程的两根和a分别作比较，求出不等式的解集．

解答： 解：（1）f（0）≥2，-a|a|≥0，解得a≤0
（2）f（x）=3x²+（x-a）|x-a|=

3x2+(x-a)2 ;x≥a 3x2-(x-a)2 ;x＜a

=

4x2-2ax+a2(x≥a) 2x2+2ax-a2(x＜a)

当x≥a时，f(x)=4(x-

a

4

)2+

3a2

4

，当x=

a

4

且a≤0时，f(x)min=

3a2

4

当x＞a时，f(x)=2(x+

a

2

)2-

3a2

2

，当x=-

a

2

且a＞0时，f(x)min=-

3a2

2

∴综上得：当a≤0时，f（x）的最小值为

3a2

4

，当a＞0时，f（x）有最小值为-

3a2

2

．
（3）当x∈（a，+∞）时，f（x）=3x²+（x-a）²=4x²-2ax+a²，≠
∴h（x）≥2即4x²-2ax+a²-2≥0
△=（2a）²-16（a²-2）=32-12a²
①当△≤0时，即a2≥

8

3

即a∈(-∞，-

2 6

3

]∪[

2 6

3

，+∞)时，解集为（a，+∞）；
②当△＞0时，a∈(-

2 6

3

，

2 6

3

)时，
令4x²-2ax+a²-2=0，得x₁=

a- 8-3a2

4

，x2=

a+ 8-3a2

4

∴4x²-2ax+a²-2≥0，x≤x₁ 或x≥x₂，
∵当a∈(-

2 6

3

，-

6

3

]时，x₁≤a，解集为(a，

a- 8-3a2

3

]∪[

a+ 8-3a2

4

，+∞）；
当a∈(-

6

3

，0]时，x₁＜a，解集为[

a+ 8-3a2

4

，+∞）；
当a=x₂时，a=

6

3

，当a∈[

6

3

，

2 6

3

)时，a＞x₂，解集为（a，+∞）；
当a∈(0，

6

3

)时，a＜x₂，解集为[

a+ 8-3a2

4

，+∞）．

点评：本题考查了含绝对值不等式解法，运用了分类讨论、等价转换、配方法等思想方法，是一道综性较强的试题，属于难题．