Question

设双曲线

y2

a2

-

x2

3

=1的两个焦点分别为F₁、F₂，离心率为2．
（Ⅰ）求此双曲线的渐近线l₁、l₂的方程；
（Ⅱ）若A、B分别为l₁、l₂上的点，且2|AB|=5|F₁F₂|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；
（Ⅲ）过点N（1，0）能否作出直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，且

OP

•

OQ

=0．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：平面向量及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a=1，进而得到双曲线方程；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），运用代入法，由中点坐标公式和两点的距离公式，即可得到中点的轨迹方程和轨迹；
（Ⅲ）假设存在满足条件的直线l．设l：y=k（x-1），l与双曲线交于P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），联立直线方程和双曲线方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理，结合向量的数量积的坐标公式，即可判断．

解答： 解：（Ⅰ）∵e=2，
∴c²=4a²
∵c²=a²+3，
∴a=1，c=2，
∴双曲线方程为y2-

x2

3

=1，渐近线方程为y=±

3

3

x；

（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点M（x，y），
∵2|AB|=5|F₁F₂|
∴|AB|=

5

2

|F1F2|=

5

2

×2c=10，
∴

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=10，
∵y1=

3

3

x1，y2=-

3

3

x2，2x=x₁+x₂，2y=y₁+y₂
∴y1+y2=

3

3

(x1-x2)，y1-y2=

3

3

(x1+x2)，
∴

[ 3 (y1+y2)]2+[ 3 3 (x1+x2)]2

=10，
∴3(2y)2+

1

3

(2x)2=100，即

x2

75

+

3y2

25

=1，
则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为10

3

，短轴长为

10 3

3

的椭圆．

（Ⅲ）假设存在满足条件的直线l．
设l：y=k（x-1），l与双曲线交于P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），
∵

OP

•

OQ

=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x1x2+k2(x1-1)(x2-1)=0，
∴x1x2+k2[x1x2-(x1+x2)+1]=0，
∵

y=k(x-1) y2- x2 3 =1

⇒(3k2-1)x2-6k2x+3k2-3=0，
∴x1+x2=

6k2

3k2-1

，x1x2=

3k2-3

3k2-1

，
∴k²+3=0
∴k不存在，即不存在满足条件的直线l．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率和渐近线方程的求法，同时考查中点坐标公式和两点的距离公式以及联立直线方程和双曲线方程，运用韦达定理，属于中档题．