Question

f（x）=

|x|

x+2

，g（x）=f（x）-kx²，g（x）在（-∞，0）上有两个零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：第一步：将f（x）的解析式化简；
第二步：令g（x）=0，并将分式方程转化为一元二次方程，于是将零点问题转化为方程的实根问题；
第三步：寻找方程有两个不等实根的充要条件，以探求k的取值范围．

解答： 解：由x∈（-∞，0），得f（x）=

-x

x+2

，
从而g（x）=f（x）-kx²=

-x

x+2

-kx²，
令g（x）=0，即

-x

x+2

-kx²=0，
由于g（x）在（-∞，0）上有两个零点，
所以方程

-x

x+2

-kx²=0在（-∞，0）上有两个不等实根，
即方程kx²+2kx+1=0在（-∞，-2）∪（-2，0）上有两个不等实根，
得

△＞0 1 k ＞0

，即

4k2-4k＞0 k＞0

，解得k＞1，
又当x=-2时，由kx²+2kx+1=0知，k的值不存在，
故实数k的取值范围是（1，+∞）．

点评：本题考查了函数零点个数的判断，关键是善于将函数的零点转化为对应方程的实根个数问题来处理．