Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

2

，短轴端点到焦点的距离为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点A，B是椭圆C上的任意两点，O是坐标原点，且OA⊥OB，
①求证：原点O到直线AB的距离为定值，并求出该定值；
②任取以椭圆C的长轴为直径的圆上一点P，求△PAB面积的最大值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意可得：

c

a

=

3

2

，a=2，a²=b²+c²，解出即可得出；
（2）①当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x=±

2 5

5

，原点O到直线AB的距离为

2 5

5

是定值．当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，由于

OA

⊥

OB

，可得

OA

•

OB

=0，可得m2=

4+4k2

5

．即可得出原点O到直线AB的距离=

|m|

1+k2

．
②当直线AB的斜率不存在时，|AB|=

4 5

5

．
当直线AB的斜率存在时，利用弦长公式与基本不等式的性质可得|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

≤

5

（k≠0）．当k=0时，|AB|=

4 5

5

．可得|AB|的最大值为

5

．
由①可知：点P到直线AB的距离最大值为

2 5

5

+2，即可得出S_△PAB最大值=

1

2

×

5

(

2 5

5

+2)．

解答： （1）解：由题意可得：

c

a

=

3

2

，a=2，a²=b²+c²，
联立解得a=2，c=

3

，b=1．
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．
（2）①证明：当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x=±

2 5

5

，原点O到直线AB的距离为

2 5

5

是定值．
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

y=kx+m x2+4y2=4

，化为（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
△=16（1+4k²-m²）＞0，
x1+x2=

-8km

1+4k2

，x1x2=

4m2-4

1+4k2

，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k2x1x2+km(x1+x2)+m2，
∵

OA

⊥

OB

，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=

5m2-4-4k2

1+4k2

=0，
∴m2=

4+4k2

5

．
∴原点O到直线AB的距离=

|m|

1+k2

=

4+4k2 5

1+k2

=

2 5

5

．
综上可得：原点O到直线AB的距离为定值

2 5

5

．
②解：当直线AB的斜率不存在时，|AB|=

4 5

5

．
当直线AB的斜率存在时，|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

4

5

1+ 9k2 16k4+8k2+1

，
当k≠0时，|AB|=

4

5

1+ 9 16k2+ 1 k2 +8

≤

5

，当且仅当k=±

1

2

时取等号．
当k=0时，|AB|=

4 5

5

．
∴|AB|的最大值为

5

．
由①可知：点P到直线AB的距离最大值为

2 5

5

+2，
∴S_△PAB最大值=

1

2

×

5

(

2 5

5

+2)=1+

5

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、向量垂直与数量积的关系、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．