Question

已知函数f（x）=x+

p

x

+m（p≠0）是奇函数，
（1）求m的值；
（2）若p=-1，用定义证明函数f（x）=x-

1

x

在区间（0，+∞）上的单调性．
（3）若p＜0，当x∈[1，3]时，求f（x）的最值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）运用奇函数的定义，解方程即可求出m=0；
（2）运用单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；
（3）通过导数判断单调性，再由单调性即可得到最值．

解答： 解：（1）由于x≠0，函数f（x）=x+

p

x

+m（p≠0）是奇函数，
则有f（-x）+f（x）=0，即为-x-

p

x

+m+x+

p

x

+m=0，
即有m=0；
（2）p=-1时，f（x）=x-

1

x

，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．
证明如下：设0＜m＜n，则f（m）-f（n）=（m-

1

m

）-（n-

1

n

）
=（m-n）（1+

1

mn

），
由于0＜m＜n，则m-n＜0，mn＞0，则有f（m）-f（n）＜0，即有f（m）＜f（n），
则f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．
（3）p＜0时，f（x）=x+

p

x

的导数f′（x）=1-

p

x2

＞0，
f（x）递增，即有f（x）在[1，3]上递增，
则f（1）取得最小值，且为1+p，f（3）取得最大值，且为3+

p

3

．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查运算能力，属于基础题．