题目内容

如图，O为△ABC的外心，E为三角形内一点，满足
OE
=
OA
+
OB
+
OC
．求证：
AE
⊥
BC
．
考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系,向量在几何中的应用
专题：平面向量及应用
分析：由于满足
OE
=
OA
+
OB
+
OC
．可得
AE
•
BC
=(
OE
-
OA
)•(
OC
-
OB
)=
OC
2-
OB
2，再利用三角形外心的性质即可得出．
解答： 证明：∵O为△ABC的外心，
∴OA=OB=OC．
∵满足
OE
=
OA
+
OB
+
OC
．
∴
AE
•
BC
=(
OE
-
OA
)•(
OC
-
OB
)
=(
OC
+
OB
)•(
OC
-
OB
)
=
OC
2-
OB
2
=0．
∴
AE
⊥
BC
．
点评：本题考查了三角形外心的性质、向量垂直与数量积的关系、向量的运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
某工厂从2001年开始，近八年以来生产某种产品的情况是：前四年年产量的增长速度越来越快，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂这种产品的产量与时间的函数图象可能是（　　）
A、
B、
C、
D、
程序框图如图所示，则输出S的值为（　　）
A、15B、21C、22D、28
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
3
2
，短轴端点到焦点的距离为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点A，B是椭圆C上的任意两点，O是坐标原点，且OA⊥OB，
①求证：原点O到直线AB的距离为定值，并求出该定值；
②任取以椭圆C的长轴为直径的圆上一点P，求△PAB面积的最大值．
已知周长为40的△ABC的顶点B、C在椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1上，顶点A（6，0）是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边BC上，求椭圆的方程．
在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且a=3，b=3，cosB=
1
3
．
（Ⅰ）求边c的长度；
（Ⅱ）求cos（B-C）的值．
已知等差数列{an}中，a5+a6=7，则S10=（　　）
A、35B、70C、42D、49
已知函数f（x）=ln（ax）+（b-2）x（a，b是常数），此函数对应的曲线y=f（x）在点（1，-1）处的切线与直线x轴平行．
（Ⅰ）求a，b的值，并求f（x）的最大值；
（Ⅱ）设m≠0，函数g（x）=
1
3
mx3-mx，x∈（1，2），总存在x1∈（1，2），x2∈（1，2），使f（x1）-g（x2）=0，求实数m的取值范围．
已知i是虚数单位，则（
1+i
2
）2013在复平面内对应的点位于（　　）
A、第一象限B、第二象限
C、第三象限D、第四象限

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