Question

6．设函数f（x）=lnx+x²-ax．
（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内是增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若f（x）≤$\frac{1}{2}$（3x²+$\frac{1}{x^2}$-6x）在x∈（0，1]内恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数 第九章即可；
（Ⅱ）根据函数f（x）是增函数，等价为f′（x）≥0恒成立，即可得到结论；
（Ⅲ）令g（x）=$\frac{1}{2}$（3x²+$\frac{1}{x^2}$-6x），x∈（0，1]，分别求出f（x）的最大值和g（x）的最小值，从而求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）a=3时，f（x）=lnx+x²-3x，（x＞0），
f′（x）=$\frac{1}{x}$+2x-3=$\frac{{2x}^{2}-3x+1}{x}$=$\frac{（2x-1）（x-1）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1或0＜x＜$\frac{1}{2}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{2}$＜x＜1，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）递增，在（$\frac{1}{2}$，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴极大值$f（{\frac{1}{2}}）=-\frac{5}{4}-ln2$，极小值f（1）=-2；
（Ⅱ）函数的定义域为（0，+∞），
要使f（x）=lnx+x²-ax在定义域内是增函数，
则等价为f′（x）≥0恒成立，
∵f（x）=lnx+x²-ax，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$+2x-a≥0，
即a≤$\frac{1}{x}$+2x恒成立，
当x＞0时，y=$\frac{1}{x}$+2x≥2 $\sqrt{\frac{1}{x}•2x}$=2$\sqrt{2}$，
则a≤2$\sqrt{2}$，即$a∈（{-∞，2\sqrt{2}}]$；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：f（x）在（0，1]递增，
f（x）_max=f（1）=1-a，
令g（x）=$\frac{1}{2}$（3x²+$\frac{1}{x^2}$-6x），x∈（0，1]，
g′（x）=$\frac{{3x}^{3}（x-1）-1}{x}$＜0，
g（x）在（0，1]递减，
g（x）_min=g（1）=-1，
若f（x）≤$\frac{1}{2}$（3x²+$\frac{1}{x^2}$-6x）在x∈（0，1]内恒成立，
则f（x）_max≤g（x）_min，
即1-a≤-1，解得：a≥2，
由（Ⅱ）a≤2$\sqrt{2}$，
故2≤a≤2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．