Question

14．（文科）已知抛物线y²=2x，直线l过点（0，2）与抛物线交于M，N两点，O为坐标原点，且$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，求直线l的方程．

Answer 1

分析 将直线方程代入抛物线方程，利用OM⊥ON，转化为x₁x₂+y₁y₂=0，从而可求k的值，进而可求直线l的方程．

解答 解：由题意知直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=kx+2（k≠0），--------（1分）
与抛物线y²=2x联立，消去x得ky²-2y+4=0，-------------（3分）
△=4-16k＞0⇒k＜$\frac{1}{4}$（k≠0），------------（4分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则y₁+y₂=$\frac{2}{k}$，y₁•y₂=$\frac{4}{k}$，-------------（5分）
y₁²=2x₁，y₂²=2x₂⇒x₁•x₂=$\frac{1}{4}$（y₁•y₂）²=$\frac{4}{{k}^{2}}$
∵$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，∴OM⊥ON⇒k_OM•k_ON=-1，
∴x₁•x₂+y₁•y₂=0，-------------（9分）
∴$\frac{4}{{k}^{2}}$+$\frac{4}{k}$=0，解得k=-1．-----------（10分）
所以所求直线方程为y=-x+2，即x+y-2=0．-----------（12分）

点评 本题以抛物线为载体，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力．