Question

18．（1）已知f（x+1）=x²+4x+1，求f（x）的解析式．
（2）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）-f（x）=2x+9．求f（x）．
（3）已知f（x）满足2f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=3x，求f（x）．

Answer 1

分析 （1）方法一：（换元法），方法二：（配凑法），
（2）待定系数法．
（3）构造方程组法．

解答 解：（1）方法一：（换元法）设x+1=t，则x=t-1，
∴f（t）=（t-1）²+4（t-1）+1，即f（t）=t²+2t-2．
∴所求函数为f（x）=x²+2x-2．
方法二：（配凑法）f（x+1）=x²+4x+1=（x+1）²+2（x+1）-2
∴所求函数为f（x）=x²+2x-2．
（2）（待定系数法）由题意，设函数为f（x）=ax+b（a≠0）
∵3f（x+1）-f（x）=2x+9，
∴3a（x+1）+3b-ax-b=2x+9，
即2ax+3a+2b=2x+9，
由恒等式性质，得$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{3a+2b=9}\end{array}\right.$
∴a=1，b=3．
∴所求函数解析式为f（x）=x+3．
（3）2f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=3x①
将①中x换成$\frac{1}{x}$，得2f（$\frac{1}{x}$）+f（x）=$\frac{3}{x}$②
①×2-②得3f（x）=6x-$\frac{3}{x}$．
∴f（x）=2x-$\frac{1}{x}$．

点评 本题考查的知识点是函数解析式的求解及常用方法，熟练掌握换元法，配凑法，待定系数法，方程组法求解析式的格式和步骤是解答的关键．