Question

8．对于函数f（x）=x³+ax²-x+1，给出下列命题：
①该函数必有2个极值；       ②该函数的极大值必大于1；
③该函数的极小值必小于1；   ④方程f（x）=0一定有三个不等的实数根．
则正确的命题序号为：①②③．

Answer 1

分析 先求导数，通过讨论参数a的不同取值讨论极值的大小．①导数的判别式很大于0，说明有两个极值．②因为f（0）=1，两个极值点一个大于零，一个小于0，所以函数的极小值必小于1，极大值必大于1，所以可判断②③．④因为极小值的大小不确定，所以无法判断函数的零点个数．

解答 解：①函数的导数为f'（x）=3x²+2ax-1．对应的判别式△=4a²+12＞0，
说明导数方程f'（x）=0有两个不同的根，即函数必有两个极值点．所以①正确．
②因为方程f'（x）=0的两根之和为-$\frac{1}{3}$＜0，
所以两个根一个为x₁＜0，一个为x₂＞0，且在x₁处取得极大值，x₂处取得极小值．
在又f（0）=1，所以该函数的极大值必大于1，函数的极小值必小于1，即②③正确．
④因为极小值不确定，所以当极小值小于0时，函数有三个不同的零点，
当极小值等于0时，函数有两个不同的零点，当极小值大于0时，
函数只有一个零点，所以④不正确．
所以正确的是①②③．
故答案为：①②③．

点评 本题的考点是导数与函数极值之间的关系，以及函数与方程问题．考查数形结合的数学思想．