Question

16．5件产品中混有2件次品，现用某种仪器依次检验，找出次品．
（I）求检验3次完成检验任务的概率；
（II）由于正品和次品对仪器的损伤程度不同，在一次检验中，若是正品需费用100元，次品则需200元，设X是完成检验任务的费用，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）检验三次完成任务分两种情况：一是3次中检验出两个次品，二是3次检验都是正品，设“检验3次完成任务”为事件A，由此能求出检验3次完成检验任务的概率．
（Ⅱ）由题意X的可能取值为300，400，500，600，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）检验三次完成任务分两种情况：
一是3次中检验出两个次品，二是3次检验都是正品，
设“检验3次完成任务”为事件A，
则检验3次完成检验任务的概率：
P（A）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}+{A}_{3}^{3}}{{A}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{10}$．
（Ⅱ）由题意X的可能取值为300，400，500，600，
P（X=300）=$\frac{{A}_{3}^{3}}{{A}_{5}^{3}}$=$\frac{1}{10}$，
P（X=400）=$\frac{{A}_{2}^{2}}{{A}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{10}$，
P（X=500）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}}{{A}_{5}^{3}}$+$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}{A}_{3}^{2}}{{A}_{5}^{4}}$=$\frac{1}{2}$，
P（X=600）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}{A}_{3}^{2}}{{A}_{5}^{4}}$=$\frac{3}{10}$，
∴X的分布列为：

X	300	400	500	600
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{10}$

EX=300×$\frac{1}{10}+400×\frac{1}{10}+500×\frac{1}{2}+600×\frac{3}{10}$=500．

点评 本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、是中档题．